КК - кіраванне квантавымі вылічэннямі з унітарнымі аператарамі, умяшанне і заблытанасць

Фота Сагара Дані

Цудоўна. Мы толькі што скончылі частку 2 на Qubit (Quantum bit - асноўны будаўнічы блок для квантавых вылічэнняў). Дык як мы можам гэта кантраляваць? У адрозненне ад класічных вылічэнняў, мы не ўжываем лагічныя аперацыі або агульную арыфметыку на кубітах. У квантавых вылічэннях няма "заявы" або "разгалінавання заявы". Замест гэтага мы распрацоўваем унітарныя аператары для маніпулявання кубітамі з прынцыпам умяшання ў квантавую механіку. Гук фантазіі, але на самой справе вельмі проста. Мы разгледзім канцэпцыю унітарных аператараў. У якасці бакавой запіскі мы разгледзім яго сувязь з раўнаннем Шродзінгера, таму мы не ствараем канцэпцыю супраць прыроды. Нарэшце, мы разбіраемся ў заблытанасці, містычнай квантавай з'яве.

Квантовыя вароты

У класічных кампутарах мы ўжываем асноўныя лагічныя аператары (NOT, NAND, XOR, AND, OR) на бітах для стварэння складаных аперацый. Напрыклад, наступная дадатак складаецца з пераноскі.

Квантовыя кампутары маюць абсалютна розныя базавыя аператары, званыя квантавымі варотамі. Мы не перакампілюем існуючую праграму C ++ для запуску на квантавым кампутары. Абодва маюць розных аператараў, і для квантовых вылічэнняў неабходныя розныя алгарытмы, каб скарыстацца імі. У квантавых вылічэннях справа ў тым, каб маніпуляваць кубітамі, заблытаць іх і вымераць. Вернемся да сферы Блоха. У канцэптуальным плане аперацыі квантавых вылічэнняў маніпулююць Φ і θ суперпазіцыі для перамяшчэння кропак па паверхні адзінкавай сферы.

Матэматычна кажучы, суперпазіцыя маніпулюе лінейным аператарам U у выглядзе матрыцы.

Для аднаго кубіта аператар проста матрыца 2 × 2.

Ураўненне Шродзінгера (неабавязкова)

Прырода здаецца наіўна простай! Матэматыка - гэта проста лінейная алгебра, якую мы вывучаем у сярэдняй школе. Паміж вымярэннямі станамі кіруюць лінейныя аператары з выкарыстаннем матрычнага множання. Пры вымярэнні суперпазіцыі руйнуюцца. Як ні дзіўна, лінейнасць - вялікае расчараванне для прыхільнікаў навуковай фантастыкі. Гэта агульная ўласцівасць квантавай дынамікі. У адваротным выпадку падарожжа ў часе альбо падарожжа хутчэй, чым святло, усё магчыма. Калі пачаць з гэтага лінейнага аператара (калі быць дакладным унітарным аператарам), мы можам атрымаць раўнанне Шродзінгера - аснову квантавай механікі пры апісанні таго, як стан развіваецца ў квантавай механіцы. З іншага боку, ураўненне Шродзінгера заключае лінейнасць прыроды.

Крыніца

Тут мы можам перапісаць раўнанне Шродзінгера як

дзе Н - эрміт. Ён паказвае, як дзяржавы лінейна развіваюцца ў прыродзе.

Ураўненне лінейнае, гэта значыць, калі абодва ψ1 і ψ2 з'яўляюцца сапраўднымі рашэннямі для ўраўнення Шродзінгера,

яго лінейная камбінацыя - агульнае рашэнне раўнання.

Калі | 0⟩ і | 1⟩ магчымыя стану сістэмы, яе лінейнай камбінацыяй стане агульны стан - у гэтым заключаецца прынцып суперпазіцыі ў квантавых вылічэннях.

Унітарная

Наш фізічны свет не дазваляе ўсіх магчымых лінейных аператараў. Аператар павінен быць адзіным і адпавядаць наступным патрабаванням.

дзе U † - перанесены, складаны кан'югат U. Напрыклад:

Матэматычна адзіны аператар захоўвае нормы. Гэта цудоўнае ўласцівасць захаваць сумарную верагоднасць роўнай адной пасля пераўтварэння стану і захаваць суперпазіцыю на паверхні адзінкавай сферы.

Калі мы разгледзім рашэнне ўраўнення Шродзінгера ніжэй, прырода падпарадкоўваецца таму ж адзінаму правілу. Н - эрміт (трансліраваны складаны кан'югат эрміта, роўны сабе). Памножанне аператара на яго транспанаваны складаны кан'югат роўна матрыцы ідэнтычнасці.

Ніжэй прыводзіцца прыклад H, дзе ёсць аднастайнае магнітнае поле E₀ ў напрамку z.

Прымяненне адзінай аперацыі да | ψ⟩ прыводзіць да павароту на восі z.

Але які сапраўдны сэнс унітарнага ў рэальным свеце? Гэта азначае, што аперацыі зварачальныя. Для любой магчымай аперацыі ёсць яшчэ адна, якая можа адмяніць дзеянне. Гэтак жа, як глядзець фільм, вы можаце прайграць яго наперад, і прырода дазваляе яго калегу U † гуляць відэа назад. Сапраўды, вы можаце не заўважыць, прайграваеце Ці вы відэа наперад або назад. Практычна ўсе фізічныя законы зварачальныя. Нешматлікія выключэнні ўключаюць вымярэнне квантавай дынамікі і другі закон тэрмадынамікі. Пры распрацоўцы квантавага алгарытму гэта вельмі важна. Эксклюзіўная аперацыя АБО (XOR) у класічным кампутары не зварачальная. Інфармацыя страчана. Улічваючы выхад у 1, мы не можам адрозніць, ці з'яўляецца першапачатковы ўвод (0, 1), альбо (1, 0).

У квантавых вылічэннях мы называем аператары квантавымі варотамі. Калі мы распрацоўваем квантовыя вароты, мы пераконваемся, што ён адзіны, то ёсць яшчэ адзін квантавы вароты, які зможа вярнуць стан да першапачатковага. Гэта важна з таго часу

калі аператар адзіны, ён можа быць рэалізаваны ў квантавым кампутары.

Пасля таго, як унітарыя будзе даказана, у інжынераў не павінна ўзнікнуць праблем па яе ўкараненні, прынамсі тэарэтычна. Напрыклад, кампутары IBM Q, якія складаюцца з звышправодных схем, выкарыстоўваюць мікрахвалевыя імпульсы рознай частоты і працягласці для кантролю кубітаў па паверхні сферы Блоха.

Каб дасягнуць унітарнай формы, мы часам выводзім частку ўваходных матэрыялаў для задавальнення гэтага патрабавання, як, напрыклад, ніжэй, нават гэта выглядае залішнім.

Давайце разбярэмся з адным з самых распаўсюджаных квантовых варот, варатам Адамара, лінейны аператар якога вызначаны наступнай матрыцай.

альбо ў абазначэнні Дырака

Калі мы ўжываем аператар у стане "спін" ці "спад", мы змяняем суперпазіцыі на:

Калі яго вымераць, абодва маюць роўныя шанцы стаць спінарам ці спінам. Калі мы зноў ужывем вароты, ён вернецца да зыходнага стану.

Крыніца

г.зн., транспанаваны кан'югат Адамара - сама брама Адамара.

Калі мы ўжываем UU †, ён аднаўляецца да зыходнага ўводу.

Такім чынам, брама Адамара з'яўляецца адзінай.

Квантовыя вылічэнні заснаваны на перашкодах і заблытанасці. Нават калі мы можам разумець квантавыя вылічэнні матэматычна, не разумеючы гэтых з'яў, давайце дэманструем гэта хутка.

Перашкоды

Хвалі перашкаджаюць адно аднаму канструктыўна альбо разбуральна. Напрыклад, выхад можна павялічыць або згладзіць у залежнасці ад адноснай фазы ўваходных хваль.

Якая роля інтэрферэнцыі ў квантавых вылічэннях? Давайце правядзем некалькі эксперыментаў.

Інтэрферометр Mach Zehnder (крыніца)

У першым эксперыменце мы рыхтуем усе ўваходныя фатоны ў стан палярызацыі | 0⟩. Гэты паток палярызаваных фатонаў размяркоўваецца раўнамерна па раздзеле прамяня B у 45 °, гэта значыць ён будзе падзяляць прамень на два артаганальна палярызаваныя агеньчыкі і выйдзе па асобных сцежках. Затым мы выкарыстоўваем люстэркі для адлюстравання фатонаў да двух асобных дэтэктараў і вымяраем інтэнсіўнасць. З пункту гледжання класічнай механікі, фатоны падзяліліся на два асобныя шляху і раўнамерна ўражвалі дэтэктары.

У другім эксперыменце вышэй мы паставілі яшчэ адзін раздзяляльнік прамяня перад дэтэктарамі. Па інтуіцыі, раздзяляльнікі прамяня працуюць незалежна адзін ад аднаго і падзяляюць светлавы паток на дзве паловы. Абодва дэтэктара павінны выявіць палову светлавых прамянёў. Верагоднасць фатону дабрацца да дэтэктара D₀ з дапамогай 1-га шляху чырвонага колеру:

Агульны шанец, каб фатон дасягнуў D₀, гэта 1/2 з 1-ці альбо 0-шляху. Такім чынам, абодва дэтэктара выяўляюць палову фатонаў.

Але гэта не супадае з эксперыментальным вынікам! Толькі D₀ выяўляе святло. Давайце мадэлюем пераход стану для раздзяляльніка прамяня з засаўкай Адамара. Такім чынам, для першага эксперыменту стан фатонаў пасля раздзяляльніка

Пры яго вымярэнні палова з іх будзе | 0⟩, а палова будзе | 1⟩. Прамяні святла раўнамерна разбіваюцца на два розныя шляху. Такім чынам, наша брама Адамара будзе адпавядаць класічнаму разліку. Але паглядзім, што адбылося ў другім эксперыменце. Як было паказана раней, калі мы падрыхтуем усе ўваходныя фатоны на | 0⟩ і перададзім іх у дзве вароты Адамара, усе фаты зноў будуць | 0⟩. Таму, калі ён вымяраецца, толькі D₀ будзе выяўляць прамень святла. Ніхто не дасягне D₁ да таго часу, пакуль мы не выканаем ніякіх вымярэнняў перад абодвума апавяшчальнікамі. Эксперыменты пацвярджаюць, што квантавы разлік правільны, а не класічны разлік. Давайце паглядзім, як інтэрферэнцыя гуляе ролю тут, у другой браме Адамара.

Як паказана ніжэй, кампаненты адной і той жа аснове вылічэння канструктыўна альбо разбуральна перашкаджаюць адна адной, каб атрымаць правільны эксперыментальны вынік.

Мы можам падрыхтаваць прамянёвы ўваход фатону, які будзе | 1⟩, і зноў зрабіць разлік. Стан пасля першага раздзяляльніка адрозніваецца ад першапачатковага на фазу π. Такім чынам, калі мы зараз будзем вымяраць, абодва эксперымента будуць рабіць аднолькавыя вымярэння.

Аднак, калі зноў прымяніць затвор Адамара, адзін вырабіць | 0⟩, а адзін | 1⟩. Інтэрферэнцыя стварае складаныя магчымасці.

Дазвольце мне зрабіць яшчэ адзін вясёлы эксперымент, які мае вельмі значнае значэнне для кібербяспекі.

Калі мы паставім іншы дэтэктар Dx пасля першага сплітэра, эксперымент паказвае, што абодва дэтэктары будуць выяўляць палову фатонаў зараз. Ці супадае гэта з разлікам квантавай механікі? У раўнанні, прыведзеным ніжэй, калі мы дададзім вымярэнне пасля першага разганяльніка, мы прымусім крах суперпазіцыі. Канчатковы вынік будзе адрознівацца ад аднаго без дадатковага дэтэктара і супасці з эксперыментальным вынікам.

Прырода кажа нам, што калі вы ведаеце, які шлях ідзе фатон, абодва дэтэктара будуць выяўляць палову фатонаў. На самай справе, мы можам дасягнуць гэтага толькі з адным дэтэктарам толькі ў адным з шляхоў. Калі да абодвух дэтэктараў не вырабляецца ніякіх вымярэнняў, усе фатоны трапляюць у дэтэктар D₀, калі фатон гатовы быць | 0⟩. Зноў жа, інтуіцыя прыводзіць нас да няправільнага высновы, у той час як квантавыя ўраўненні застаюцца даверлівымі.

Гэта з'ява мае адно крытычнае значэнне. Дадатковае вымярэнне разбурае арыгінальнае ўмяшанне ў нашым прыкладзе. Стан сістэмы змяняецца пасля вымярэння. Гэта адна з ключавых матываў квантавай крыптаграфіі. Вы можаце распрацаваць такі алгарытм, што калі хакер перахоплівае (вымярае) паведамленне паміж вамі і адпраўніком, вы можаце выявіць такое ўварванне незалежна ад таго, наколькі мяккім можа быць вымярэнне. Таму што схема вымярэння будзе іншай, калі яна будзе перахоплена. Тэарэма пра не кланаванне ў квантавай механіцы сцвярджае, што нельга дакладна капіяваць квантавы стан. Такім чынам хакер не можа дубляваць і адпраўляць зыходнае паведамленне.

Акрамя квантавага мадэлявання

Калі вы фізік, вы можаце скарыстацца інтэрферэнцыйнымі паводзінамі ў квантавых варотах, каб імітаваць аднолькавыя ўмяшанні ў атамныя светы. Класічныя метады працуюць з тэорыяй верагоднасці са значэннямі большымі або роўнымі нулю. Гэта мяркуе незалежнасць, што не адпавядае рэчаіснасці ў эксперыментах.

Квантовы механізм сцвярджае, што гэтая мадэль няправільная і ўводзіць мадэль са складанымі і адмоўнымі лічбамі. Замест таго, каб выкарыстоўваць тэорыю верагоднасцей, яна выкарыстоўвае ўмяшанне для мадэлявання праблемы.

Такім чынам, што карысці прыносіць нефізіку? Да інтэрферэнцыі можна разглядаць той самы механізм, што і ўнітарнаму аператару. Яго можна лёгка рэалізаваць у квантавым кампутары. Матэматычна адзіны аператар - гэта матрыца. Па меры павелічэння колькасці кубітаў мы павялічваем каэфіцыенты росту, з якімі мы можам гуляць. Гэты адзіны аператар (умяшанне ў вока фізіка) дазваляе нам маніпуляваць усімі гэтымі каэфіцыентамі за адну адзіную аперацыю, якая адкрывае дзверы для масіраваных маніпуляцый з дадзенымі.

Заблытанне

Наогул, навукоўцы лічаць, што без заблытанасці квантавыя алгарытмы не могуць паказаць перавагу над класічнымі алгарытмамі. На жаль, мы не разумеем прычын добра, і таму не ведаем, як наладзіць алгарытм, каб скарыстацца яго поўным патэнцыялам. Менавіта таму заблытанасць часта згадваецца пры ўвядзенні квантавых вылічэнняў, але пасля гэтага не нашмат. Па гэтай прычыне мы растлумачым, што такое заблытанне ў гэтым раздзеле. Спадзяюся, што вы навуковец парушыць сакрэт.

Разгледзім суперпазіцыю 2-кубітаў.

дзе | 10> азначае, што дзве часціцы знаходзяцца ў спіне ўніз і ў спіне ўверх адпаведна.

Разгледзім наступны кампазітны стан:

Ці можам мы падзяліць складанае стан на два асобных стану,

Мы не можам, бо гэта патрабуе:

Квантавая механіка дэманструе адно неінтуітыўнае паняцце. У класічнай механіцы мы лічым, што разуменне ўсёй сістэмы можна зрабіць, калі добра зразумець усе падкампаненты. Але ў квантавай механіцы

Як паказана раней, мы можам мадэляваць кампазітны стан і рабіць прагнозы вымярэнняў выдатна.

Але мы не можам апісаць ці разумець гэта як два незалежныя кампаненты.

Я ўяўляю гэты сцэнар, як пара выйшла замуж за 50 гадоў. Яны заўсёды будуць дамовіцца, што рабіць, але вы не можаце знайсці адказы, калі ставяцца да іх як да асобных асоб. Гэта занадта спрошчаны сцэнар. Ёсць шмат магчымых дзяржаў заблытанасці

і значна складаней будзе апісаць іх, калі колькасць кубітаў павялічыцца. Выконваючы квантавыя аперацыі, мы ведаем, як кампаненты карэлююць (заблытваюцца). Але перад любым вымярэннем дакладныя значэнні застаюцца адкрытымі. Заблытанне стварае карэляцыі, якія нашмат багацей і, верагодна, нашмат цяжэй класічнаму алгарытму эфектыўна імітаваць.

Далей

Цяпер мы ведаем, як маніпуляваць кубітамі з унітарнымі аперацыямі. Але для тых, хто цікавіцца квантавымі алгарытмамі, мы павінны ведаць у першую чаргу абмежаванне. У адваротным выпадку вы можаце прапусціць, што ў квантовых вылічэннях складана. Але для тых, хто хоча даведацца больш пра квантавыя вароты, вы можаце прачытаць другі артыкул да першага.