Як даведацца, што ўсе электроны аднолькавыя? Частка 2

У частцы 1 я перайшоў парадокс Гібса, парадокс статыстычнай механікі канца 19-га стагоддзя, дазвол якой паказваў, што часціцы павінны быць аднолькавымі і непазнавальнымі на нейкім узроўні. Гэта была першая падказка, і некаторыя людзі задумаліся над гэтым пытаннем - але гэта не было апошнім словам.

У другой частцы я завяршу сваё тлумачэнне таго, як фізікі ведаюць, што ўсе элементарныя часціцы (напрыклад, электрон) ідэнтычныя, паглыбляючыся ў квантавую механіку, займальную вобласць фізікі, якая была адкрыта і распрацавана на працягу першых 3 дзесяцігоддзяў 20-га. стагоддзя (1900-1930). Неабходна цалкам чытаць частку 2 без чытання часткі 1; нягледзячы на ​​тое, што абодва яны маюць дачыненне да таго, чаму часціцы ідэнтычныя, абедзве яны самадастатковыя і не залежаць ад іншых. Частка 1 - гэта тлумачэнне, якое можна было зразумець прыблізна ў 1900 годзе, у той час як частка 2 - гэта тлумачэнне, зразумелае ў 1930 г. - пасля таго, як была завершана квантавая механіка.

У класічнай статыстычнай механіцы вы можаце прадставіць розныя магчымасці стану сістэмы па верагоднасцях. Напрыклад, калі вы ведаеце тэмпературу і ціск газу, існуе статыстычнае размеркаванне (якое называецца "функцыя шчыльнасці верагоднасці") розных часціц, якія ўваходзяць у склад газу. Гэтыя часціцы падскокваюць вакол выпадкова. Пры высокай тэмпературы вы з большай верагоднасцю выявіце асобную малекулу газу, які хутка рухаецца; пры нізкай тэмпературы вы з большай верагоднасцю выявіце асобную малекулу газу, які рухаецца павольна. Але ў любым выпадку ёсць цэлы шэраг магчымасцей.

У квантавай механіцы тое ж самае, але гэта становіцца крыху больш складана. Функцыя шчыльнасці верагоднасці ў квантавай механіцы вызначаецца квадратам велічыні складанай функцыі, званай "хвалевай функцыяй". Пад складаным я маю на ўвазе замест функцыі рэальныя лікі (х = 1, 2, 3.4, 9.8 і г.д.), гэта функцыя складаных лікаў, кожнае з якіх мае рэальную і ўяўную частку (z = 1 + i, 2 + 3.5i, 4.8 + 9i і г.д.) Калі вы ніколі раней не сустракаліся з гэтым, я ўпэўнены, што гэта сапраўды дзіўна. Але я не магу сказаць значна больш, чым гэта: менавіта так працуе квантавая механіка - гэта неяк дзіўна!

Так, напрыклад, калі хвалевая функцыя для электрона складае 1 / √2 у становішчы х і 1 / √2 у становішчы у, то, калі вы квадрат іх, вы атрымаеце верагоднасць: шанцы знайсці яго ў становішчы х роўны 1/2 і верагоднасць таго, што ён будзе знойдзены ў y, таксама складае 1/2. Такім чынам, у вас ёсць стрэл 50/50, калі шукаць яго ў любым месцы.

Да гэтага часу гэта ўсё яшчэ ідэнтычна класічнай статыстычнай механіцы. Калі б вы гэтага хацелі, вы маглі б проста прадставіць функцыю шчыльнасці верагоднасці ў класічнай фізіцы паўсюль квадратным коранем, і нічога не зменіцца. Розніца заключаецца ў тым, што ў квантавай механіцы хвалевая функцыя дзейнічае менш як псіхічная абстракцыя і больш падобна на фактычную фізічную хвалю, у тым, што яна можа праяўляць перашкоды.

Цёмныя і светлыя перашкоды

Класічна хвалі верагоднасці не перашкаджаюць адна адной. Верагоднасць заўсёды станоўчае лік, так што калі дзве розныя часціцы газу маюць верагоднасць p знайсці іх у месцы x, то верагоднасць знайсці адну з іх там проста 2p. Класічна верагоднасць розных падзей (або розных вынікаў вымярэнняў) заўсёды дапаўняе адзін аднаго, і ніколі не адымае.

Але ў квантавай механіцы менавіта хваля - гэта сама функцыя (а не яе квадрат), якая дзейнічае як хваля. А паколькі хвалевая функцыя ў кожнай кропцы можа быць любым складаным лік (уключаючы станоўчыя або адмоўныя рэальныя лічбы), часам пры аб'яднанні розных магчымасцей верагоднасці дадаюць, але ў іншы раз яны адымаюць! Калі адбываецца адніманне - напрыклад, калі верагоднасць двух розных падзей цалкам адмяніць, што не дае магчымасці адбыцца - гэта называецца квантавай інтэрферэнцыяй.

Давайце выкажам здагадку, што ў нас ёсць 2 электроны і ёсць толькі 2 месцы, дзе можна знайсці кожны электрон, месцазнаходжанне х або месцазнаходжанне у. Калі б два электрона былі адрозныя, то мы маглі б пазначыць іх "электрон А" і "электрон Б", і гэта азначала б, што ёсць 2-х электронная сістэма. Альбо і А, і В знаходзяцца ў х, і тыя і іншыя у y, A - у x і B - у, ці B - у х, і A - у. Падводзячы вынік, мы маем AB = xx, yy, xy або yx. Распаўсюджанае паняцце для прадстаўлення такіх станаў у квантавай механіцы заключаецца ў выкарыстанні вуглавых дужак: | xx>, | yy>, | xy> і | yx>.

Але навуковае даследаванне 1920-х гадоў прадэманстравала дзіўны факт: сістэма з 2-х электронаў не можа быць у 4-х розных станах, у ёй можа быць толькі 1 магчымы стан!

Частка прычыны гэтага вы мусіце здагадацца: калі няма магчымасці адрозніць электрон A ад электрона B, то стану | xy> і | yx> будуць аднолькавымі. Гэта ўсяго два розныя спосабы прадстаўлення аднаго і таго ж фізічнага стану. У любым выпадку, ёсць 1 электрон у становішчы х і 1 у становішчы у.

Але гэта ўсё яшчэ пакідае нас з 3 станамі, а не 1 - што дрэннага ў стане, падобным на | xx>, калі абодва электрона знаходзяцца ў становішчы x, альбо | yy> дзе абодва знаходзяцца ў становішчы? Аказваецца, больш за 1 электрон ніколі не можа займаць адно і тое ж стан. У 1925 годзе Вольфганг Паўлі прапанаваў гэты прынцып - сёння вядомы як прынцып выключэння Паўлі - і ў 1940 г. ён здолеў даказаць з дапамогай квантовай тэорыі поля, што ён прымяняецца не толькі да электронаў, але і да ўсіх часціц пэўнага тыпу (тых, у каго з паўцэлам спін ​​- электроны маюць спін 1/2).

Вольфганг Паўлі

Мне спатрэбіцца занадта далёкая тэма, каб даць поўнае тлумачэнне таго, што круціцца ў гэтай публікацыі (калі вы хочаце даведацца больш, вам прапануецца прачытаць маё тлумачэнне спіна-1/2 тут, на Quora, пра што яны толькі што паведамілі Учора мяне адправілі па электроннай пошце звыш 100 000 чалавек). Але, аказваецца, усе квантавыя часціцы трапляюць у 1 з 2 катэгорый: ферміёны ці бозоны. Ферміёны маюць паўцелы спін і падпарадкоўваюцца прынцыпу выключэння Паўлі, у той час як бозоны маюць цэлы лік спіна і не выконваюць яго.

Ферміёны, як правіла, маюць больш "падобныя на матэрыю" ўласцівасці. Напрыклад, электроны, пратоны і нейтроны - гэта спіры-1/2 ферміёны. Менавіта яны складаюць будаўнічыя блокі матэрыі (атамы, малекулы і г.д.). Вы, магчыма, чулі дзе-небудзь ці іншае, што матэрыя адначасова не можа займаць адно і тое ж прастору. Часткова гэта звязана з прынцыпам выключэння Паўлі (а таксама электрастатычным адштурхоўваннем паміж рознымі атамамі).

Базоны, як правіла, валодаюць больш "радыяцыйнымі" ўласцівасцямі. Напрыклад, фатоны - часціцы, якія адказваюць за святло і іншыя электрамагнітныя выпраменьвання (радыёхвалі, мікрахвалевыя печы, Wi-Fi, ультрафіялетавае выпраменьванне, рэнтгенаўскія прамяні, гама-прамяні і інш.) - гэта спіны-1. Бозон Хігаса, выяўлены ў LHC у 2012 годзе, з'яўляецца бозон спіна-0. І большасць фізікаў-тэарэтыкаў лічаць, што гравітацыя опосредуется бозам спіна-2 пад назвай гравітатон, хаця гэта яшчэ трэба выявіць у лабараторыі.

Прынцып выключэння Паўлі - гэта не толькі аксіёматычнае правіла, але і заключэнне, якое можна зрабіць з лепшых нашых асноўных фізічных тэорый. На самай справе, для высновы прынцыпу выключэння Паўлі ў якасці высновы патрабуецца адначасова тэорыя Эйнштэйна аб аднаўленні ў спалучэнні з квантавай механікай. З-за таго, як працуе спін, хвалевая функцыя 2-х бозонаў заўсёды вымушана быць "сіметрычнай", тады як хвалевая функцыя двух ферміёнаў заўсёды вымушана быць "антысіметрычнай".

У гэтым кантэксце сіметрычная проста азначае, што калі вы мяняеце месцы двух бозонаў, то нічога не атрымаецца - вы вернецеся сапраўды ў той жа стан. Антысіметрычнае азначае нешта падобнае, але не зусім: калі вы мяняеце месцы двух аднолькавых ферміёнаў, то вы атрымаеце назад той самы стан, але са знакам мінус перад ім.

Квантовая механіка ажыццяўляецца ў тыпе вектарнай прасторы, званай "прастора Гільберта", дзе кожны раз, калі ў вас ёсць 2 стану, з іх можа сфармавацца яшчэ адзін стан, дадаўшы іх разам у "лінейнае спалучэнне". Напрыклад, калі | xy> і | yx> абодва стану ў прасторы Гільберта, то | xy> + | yx> таксама стан у той жа прасторы Гільберта. І гэтак жа | xy> - | yx> або любая іншая лінейная камбінацыя, напрыклад 3 | xy> -2 | yx>. Такі спосаб аб'яднання станаў у квантавай механіцы называецца "суперпазіцыі". Замест таго, каб адназначна знаходзіцца ў адным месцы ці, безумоўна, знаходзіцца ў іншым, у электроннага ёсць некалькі шанцаў апынуцца ў адной, і ёсць шанец на іншае.

Аднак, паколькі гэтыя станы ўяўляюць сабой квантавую хвалевую функцыю, і я ўжо згадваў, што квадрат велічыні квантавай хвалевай функцыі - гэта верагоднасць размеркавання, стан павінен быць нармалізаваны такім чынам, што сумарная верагоднасць пошуку электрона ў любым месцы складае да 100% (ці 1). Такім чынам, каэфіцыенты ў лінейных камбінацыях вышэй павінны быць падзелены на агульны каэфіцыент, каб нармалізаваць іх.

Спалучаючы гэта з патрабаваннем, што фермінскія хвалевыя функцыі заўсёды павінны быць антысіметрычнымі, гэта азначае, што адзіны стан, у якім могуць знаходзіцца гэтыя 2 электроны (пры ўмове, што для іх ёсць толькі 2 магчымыя месцы), з'яўляецца 1 / √2 | xy> -1 / √2 | yx>. (Ці тое ж самае, памножанае на любую складаную колькасць велічыні 1, што фізічна эквівалентна.) Калі мы ў гэтым абмяняем х і у, атрымаем 1 / √2 | yx> -1 / √2 | xy>, што дакладна -1 разоў ад першапачатковага стану. Матэматычна гэта іншы стан у прасторы Гільберта, але фізічна гэта азначае тое ж самае. Калі вы квадратныя каэфіцыенты 1 / √2, то гэта кажа вам аб тым, што ёсць верагоднасць 1/2, што электрон A знаходзіцца пры x, а электрон B - y, і 1/2 верагоднасць таго, што электрон B знаходзіцца на х і электрон A ў ў. 50/50

Тое, што мы зрабілі, гэта прыняць два стану, якія фізічна не адрозніваюцца - | xy> і | yx>, і ўтварылі суперпазіцыю з іх, якая валодае гэтай антысіметрычнай уласцівасцю, патрэбнай ферміёнам. А як жа дзяржавы | xx> і | yy>? Іх ніколі нельга зрабіць антысіметрычнымі, таму што замена х з х альбо ў з у нічога не мяняе. Паколькі яны ўласна сіметрычныя, яны проста не могуць існаваць для ферміёнаў - яны распаўсюджваюцца толькі на бозоны.

Як вы ўжо здагадаліся, гэта азначае, што для бозонаў існуе 3 магчымых стану, у якіх яны могуць існаваць, а не толькі 1. Для 2 фатонаў, якія могуць знаходзіцца ў раздзеле х альбо ў месцы, 3 розных стану, у якіх яны могуць знаходзіцца, | хх> , | yy> або 1 / √2 | xy> + 1 / √2 | yx> - усе яны ідэальна сіметрычныя, калі вы мяняеце х і у. (Без знака мінус.)

Падводзячы вынік, пара адрозных часціц, якія могуць знаходзіцца ў двух розных месцах, мае 4 магчымыя стану, у якіх яны могуць знаходзіцца. У той час як пара ферміёнаў мае толькі 1 магчымы стан, а пара бозонаў мае 3 магчымыя стану. Гэта прыводзіць да вельмі розных статыстычных паводзін для ферміёнаў і бозонаў і тлумачыць, чаму мноства уласцівасцей двух відаў часціц настолькі розныя.

У сваім папярэднім паведамленні я распавёў гісторыю таго, як даследаванне энтрапіі Макса Планка ў канцы 1800-х гадоў прывяло да першапачатковага адкрыцця квантавай механікі. У гэты ж перыяд часу ўжо існуе вялікая падказка - вядомая загадка пра тэрмадынаміку Максвела і Больцмана (якая потым стала называцца статыстычнай механікай). Выкарыстоўваючы закон аб абсталяванні, класічная тэрмадынаміка прадказала няправільную цеплавую магутнасць для многіх газаў пры нізкіх тэмпературах.

"Цеплавая ёмістасць" - гэта колькасць цяпла, якое можа паглынуць, пакуль яго тэмпература не будзе павышана на пэўную колькасць (звычайна на 1 градус па Цэльсіі). Некаторыя газы здольныя паглынаць шмат цяпла (цеплавой энергіі), не павялічваючы пры гэтым іх тэмпературу. У той час як для іншых, уздзеянне толькі невялікай колькасці цяпла пашле тэрмометр пара. Тэорыя, якая стаіць за гэтым, паводле Максвела і Больцмана, заключалася ў тым, што некаторыя газы лепш паглынаюць і захоўваюць цеплавую энергію, чым іншыя, паколькі яны маюць вялікую колькасць унутраных ступеняў свабоды - гэтыя "ступені свабоды" эфектыўна служаць ёмістасцямі, у якіх энергія можа захоўвацца. Тэарэма аб абсталяванні (прапанаваная Максвеллам, а потым Больцманн больш даказана) сцвярджае, што ў раўнавазе кожны газ (альбо вадкі, альбо цвёрды) будзе мець агульную ўнутраную энергію 1/2 НкТ. Дзе N - колькасць градусаў свабоды ў гэтым газе, T - тэмпература гэтага газу, а k - пастаянная Больцмана. Іншымі словамі, газ будзе мець 1/2 кТ цеплавой энергіі на ступень свабоды.

Напрыклад, калі ў нас ёсць газ аднаатомнага вадароду (манатомічны азначае, што кожная малекула - адзін атам), кожны атам мае 3 ступені свабоды, таму што ён можа рухацца ў адным з 3 кірункаў: уверх ці ўніз, налева або направа, і назад, і назад наперад (3 кірункі, бо мы жывем у трохмернай прасторы). Цеплавая энергія можа паглынацца атамам Вадароду, павялічваючы яго кінэтычную энергію ў любым з гэтых 3 незалежных кірункаў.

Крэдыт малюнкаў: astarmathsandphysics.com

З іншага боку, калі ў нас ёсць газ з дыятамічных малекул вадароду (дыятамічны азначае, што кожная малекула складаецца з 2 атамаў, злучаных хімічнай сувяззю), то ёсць больш ступеняў свабоды (магчымыя спосабы, па якіх можа перамяшчацца кожная малекула газу) . У дадатак да свабоды лінейнага перамяшчэння ў любым з 3 вымярэнняў, ён таксама мае магчымасць круціцца па любой з двух восяў.

Хоць 75% усёй матэрыі ў Сусвеце з'яўляецца аднатонным вадародам, большая частка вадароду на Зямлі ўяўляе сабой двух'ярусны вадарод. Усё таму, што вадарод мае аднаматычны характар ​​толькі пры вельмі высокіх тэмпературах і цісках, якія існуюць унутры зорак (напрыклад, сонца). У дыяпазоне тэмператур, знойдзеных каля паверхні Зямлі, вадарод натуральным чынам пераходзіць у сваю дыятомічную фазу. Але тое, што здавалася дзіўным у 1800-х гадах, гэта тое, што ў залежнасці ад дакладнай тэмпературы дыятанічны вадарод можа мець розную цеплаёмістасць.

Крэдыт малюнкаў: гіперфізіка

Пры пакаёвай тэмпературы вадарод мае цеплаёмістасць на малекулу блізка да 5/2 к (або калі гэта на моль, а не на малекулу, гэта запісваецца як 5/2 R, як на схеме). Згодна з поглядам Максвела і Больцмана на тэрмадынаміку, гэта азначае 5 ступеняў свабоды (на самай справе 7, калі ўключыць яшчэ 2 ступені свабоды для вібрацый). Але дакладнае значэнне пры пакаёвай тэмпературы каля 2.47k. І калі газ астывае да ніжэй 0 градусаў па Цэльсіі (273 К), ён паступова апускаецца з 2,47 кіламетра да канчатковага ўзроўню 1,5к. Але 3/2 k будзе азначаць, што ў яго ёсць толькі 3 ступені свабоды - інакш кажучы, што гэта аднаатамны газ! Чаму халодны вадарод стане манатомным газам пры нізкіх тэмпературах? І што значыць мець значэнне паміж 3 і 5 градусамі свабоды? Цеплаёмістасць павінна была быць незалежнай ад тэмпературы. Былі падобныя вядомыя праблемы з вымеранай цеплаёмістасцю кіслароду і азотнага газу.

У 1800-х гадах было прапанавана шмат тлумачэнняў гэтай галаваломкі, але ніхто не зразумеў поўнага адказу да развіцця квантавай механікі. Поўны адказ заключаецца ў тым, што спосабы ўзбуджэння вярчальных ступеняў свабоды ў малекулах квантаваны. Класічна нешта можа круціцца з любой хуткасцю, наколькі павольна - таму любая колькасць энергіі, незалежна ад таго, як мала, можа пачаць нешта круціцца. Але ў квантавай механіцы квантаваны імпульс імпульсу, таму кручэнне можа адбывацца толькі з пэўнымі дыскрэтнымі крокамі. Альбо малекула пачынае хутка круціцца, альбо зусім няма - паміж імі няма. З-за гэтага пры нізкіх тэмпературах сярэдняя колькасць энергіі, якая абменьваецца паміж выпадковымі сутыкненнямі малекул, занадта малая, каб узбуджаць гэтыя ступені свабоды. Пры нізкіх тэмпературах газ вадароду па-ранейшаму з'яўляецца дыятамічным, але тры паступальныя ступені свабоды - гэта адзінае, што можна ўзбуджаць - проста не хапае энергіі для таго, каб малекулы круціліся. Як толькі тэмпература падымаецца вышэй пэўнага парога, тыповыя энергіі, якія ўдзельнічаюць у сутыкненнях, становяцца дастатковымі для ўзбуджэння кручэння. Чым вышэй тэмпература, тым большая верагоднасць атрымання энергій, каб выклікаць вялікія павароты; таму цеплаёмістасць паступова павышаецца да ўзроўню таго, што можна было б чакаць для чаго-небудзь, які складаецца з малекул з 5 ступенню свабоды. Калі вы працягваеце павышаць тэмпературу, у канчатковым выніку становіцца дастаткова горача, каб узбуджаць вібрацыі (уявіце, што сувязь паміж атамамі падобная на спружыну, расцягваючыся і сціскаючыся па чарзе), што, як высветлілася, таксама было колькасна. Пры вельмі гарачых тэмпературах дыятамічныя газы маюць 7 даступных ступеняў свабоды, гэта тое, што вы маглі б падумаць, што гэта класічна пры любой тэмпературы. Квантовая механіка дае аналагічнае тлумачэнне цеплавых магутнасцей кіслароду і азоту.

Эйнштэйн прапанаваў у 1906 годзе, каб квантызацыя магла вырашыць гэты відавочны канфлікт паміж законам Максвела і Больцмана аб абсталяванні і эксперыментальна вымеранымі крывымі для пэўнага нагрэву дыятамічных газаў. І яго гіпотэза была пацверджана ў 1910 г. Нернстам, калі ён з большай дакладнасцю вымяраў пэўныя тэмпературы розных газаў і выявіў, што яны згодныя з тэарэтычнымі прагнозамі Эйнштэйна. Гэта быў адзін з першых эксперыментальных выпрабаванняў ранняй квантавай механікі, і ён прайшоў!

Але вяртаючыся да аднолькавых часціц, ёсць і іншы спосаб, калі квантавая механічная тэорыя газаў істотна адрозніваецца ад старой класічнай тэорыі газаў 1800-х гадоў.

Калі б асобныя часціцы газу былі адрозныя, тады, калі астудзіць газ да абсалютнага нуля, усе яны ўвойдуць у стан зямлі - у тым, што ў іх стане маецца найменшая энергія. Звычайна вы можаце падумаць, што асноўны стан - гэта той стан, дзе кожная часціца знаходзіцца ў стане спакою, і няма ніякай кінэтычнай энергіі, вярчальнай энергіі ці іншага роду руху ці ўнутранай энергіі.

Але для газу ферміёнаў іх неадрознасць прыводзіць да прынцыпу выключэння Паўлі, які забараняе больш адной ідэнтычнай часціцы ўваходзіць у адзін і той жа стан. Такім чынам, усе яны не могуць знаходзіцца ў наземным стане. Часта ўзроўні энергіі, якую можа займаць часціца, прадстаўлены лесвічнай схемай, дзе кожны ўзровень энергіі - гэта яшчэ адзін прыступ на лесвіцы. Звычайна існуе таксама "дэгенерацыя", калі ў некалькіх штатах ёсць аднолькавая энергія - у гэтым выпадку яны могуць быць прадстаўлены адным і тым жа пераходам на лесвіцы, пакуль мы адсочваем той факт, што ў гэтым ёсць дэгенерацыя (некалькі станаў). званком.

Што адбываецца, калі газ ферміёнаў (таксама вядомы як газ Фермі) астывае да абсалютнага нуля, гэта тое, што кожны стан дадзенай энергіі запаўняецца, пачынаючы з стану зямлі і рухаючыся па лесвіцы, пакуль усе часціцы не газ улічваецца і мае званок. Зноў жа, з-за дэгенерацыі на адной прыступцы могуць знаходзіцца некалькі часціц. Але пакуль выроджанасць невялікая ў параўнанні з агульнай колькасцю часціц, гэта ўсё яшчэ азначае, што шмат нарыхтовак будзе запоўнена. Пасля таго, як вы запоўніце ўсе кругавікі часцінкамі, самы высокі ўзровень энергіі, які напаўняецца, называецца "энергія Фермі".

У 1910 г. таго ж года Нернст пацвердзіў квантавую тэорыю цеплавых магутнасцей для дыятамічных газаў, астраномы былі выяўлены новы тып зоркі. У 1922 годзе яго назвалі "белым карлам", але ўжо ў 1910 годзе астраномы заўважылі, што ён адрозніваецца ад звычайных зорак і мае даволі дзіўныя ўласцівасці. Дзівосная рэч у гэтым выглядзе зоркі заключалася ў тым, што яна здавалася занадта шчыльнай для класічнай фізікі, каб растлумачыць, як яна здольная ззяць.

Сірыус B (малюсенькая кропка) - бліжэйшая зорка белага карліка

Маса белага карліка падобная на масу Сонца, але ўся гэтая маса ўпакавана ў малюсенькі шар, які звычайна мае аднолькавы памер, як і Зямля. Калі ўлічыць, што Сонца прыблізна ў 333 000 разоў мацнейшае за Зямлю, гэта азначае, што гэта вельмі шчыльны выгляд матэрыі. У той час гэта было нашмат шчыльней за ўсё, што фізікі ніколі не бачылі і не чулі, хаця зоркі павінны былі спальваць газы іёнаў (таксама вядомыя як плазмы), а не цвёрдыя рэчывы. Калі б гэта было нейкім надзвычай шчыльным цвёрдым рэчывам, то навошта б ён наогул ззяў?

Аказалася, гэта сапраўды плазма, а не цвёрдая. Але гэта было сапраўды сапраўды шчыльна. Ні адна класічная тэорыя газаў не можа растлумачыць, якім газам можа стаць гэты густы, а не проста абваліцца сам па сабе дзякуючы ўласнай гравітацыі. У 1926 г. Р. Фаўлер правільна растлумачыў, выкарыстоўваючы матэматыку квантавай механікі, што белыя карлікі - гэта на самай справе газы Фермі, а не класічныя газы.

Іншымі словамі, белы карлік - гэта газ аднолькавых ферміёнаў. У прыватнасці, гэта газ электронаў. Пры высокіх тэмпературах і нізкім ціску газ электронаў паводзіць сябе не інакш, чым звычайны класічны газ. Не мае значэння, што асобныя электроны ідэнтычныя, таму што даступна значна больш станаў, чым электронаў. У іх ёсць вялікі аб'ём для перамяшчэння і мноства розных відаў спосабаў перамяшчэння, паколькі тэмпература дастаткова высокая. Але астудзіце той жа газ досыць, альбо падніміце ціск, каб ён запакаваўся ў досыць невялікі аб'ём, і тады электроны пачнуць выціскацца ў аднолькавыя стану. За выключэннем таго, што яны не могуць увайсці ў той самы стан з-за прынцыпу выключэння Паўлі. Такім чынам, яны проста запаўняюць стану прыблізна да энергіі Фермі і спыняюцца.

Калі б яны адрозніваліся часціцамі, тады яны павінны былі б перайсці ў адзін і той жа стан, а энергія была б роўнай нулю - ніякага руху ў асноўным стане. Але паколькі яны з'яўляюцца ферміёнамі, існуе "ціск дэгенерацыі", які перашкаджае ім пераходзіць у адно і тое ж стан і дазваляе пазбегнуць таго, што сама гравітацыя разбурыцца. Статыстыка таго, як паводзяць сябе ферміёны ў гэтай сітуацыі, вядомая пад назвай "статыстыка Фермі-Дырака", якая ў межах высокіх тэмператур і нізкага ціску становіцца падобнай на класічную "статыстыку Максвела-Больцмана". Статыстыка ў гэтым кантэксце спасылаецца на тое, якая верагоднасць таго, што кожная часціца атрымае зададзеную энергію ў раўнавазе, у залежнасці ад тэмпературы. Ці іншы спосаб сказаць: якая чаканая колькасць часціц, якія будуць знойдзены на кожным узроўні энергіі для сістэмы пасля дасягнення раўнавагі?

Вы можаце атрымаць статыстыку Максвелла-Больцмана, падлічыўшы, колькі розных унікальных станаў могуць займаць часціцы пры дапамозе камбінаторыкі, а потым высветліць, дзе гэты размеркаванне станаў дасягае максімуму (таксама прадстаўляючы максімальную энтрапію, ака раўнавагу). Для меншых энергій дэгенерацыя звычайна ніжэйшая, таму не так шмат станаў. Але калі энергія асобнай часціцы занадта вялікая, то яна памяншае колькасць пакінутай энергіі для размеркавання сярод іншых часціц, што прыводзіць да меншай колькасці магчымых камбінацый. Такім чынам, узнікае баланс, стан раўнавагі, калі ўся сістэма знаходзіцца на максімальнай энтрапіі, калі стану дадзенай энергіі запоўнены чаканай колькасцю часціц N_i = K_i / e ^ (E_i-µ) / (kT)). K_i - гэта дэгенерацыя; ён уяўляе, колькі станаў знаходзіцца на дадзеным энергетычным узроўні E_i. Каэфіцыент e ^ (- E_i / kT) (дзе k - пастаянная Больцмана, а тэмпература T) вядомы як "каэфіцыент Больцмана". Каэфіцыент Больцмана азначае, што калі мы рухаемся ўверх па лесвіцы ўзроўню энергіі, колькасць часціц, якія займаюць кожны пераход, становіцца экспанентна меншай і меншай (хаця з-за дэгенерацыі ёсць усё больш і больш месца для іх). Але тэмпература кантралюе, наколькі хутка гэтая экспанентная частка падае. Грэчаскі сімвал µ ў e ^ (E_i-µ) / (kT) называецца "хімічным патэнцыялам" і на сённяшні дзень няважны, але ён уяўляе, наколькі павялічыцца агульная энергія сістэмы, калі ў яе дададуць дадатковую часціцу. . (Для многіх сістэм µ роўна 0 або прыблізна 0, таму часта нават не ўключаецца).

Пакуль газ досыць рэдкі, што нам не прыйдзецца турбавацца аб дзвюх розных часціцах, якія займаюць адно і тое ж стан (чаканыя N_i ва ўсіх станах менш за 1), тое ж самае вывядзенне працуе выдатна для ферміёнаў ці для бозонаў - не мае значэння, абодва прыводзяць да той жа статыстыкі Максвела-Больцмана. Аднак, калі разглядаць выпадак, калі газ вельмі густы альбо пры дастаткова нізкай тэмпературы, то раптам вельмі важна, ці з'яўляюцца часціцы ферміёнамі або бозонамі (альбо ні адзін, што на самой справе не бывае, але можна сабе ўявіць) . Для ферміёнаў чаканая колькасць часціц, якія займаюць кожны ўзровень энергіі, як толькі вы падлічыце станы і выявіце іх максімум: N_i = 1 / (e ^ ((E_i-µ) / (kT)) + 1) - гэта тое, што вядома як Статыстыка Фермі-Дырака. Для ўмоў высокай шчыльнасці ў белых карлікавых зорках або пры нізкіх тэмпературных умовах у іншых газах Фермі хімічны патэнцыял µ становіцца важным і прыблізна такім, як абмяркоўвалася энергія Фермі (а для нулявой тэмпературы - гэта сапраўды тое ж самае). Звярніце ўвагу, што адзіная розніца паміж статыстыкай Максвела-Больцмана і статыстыкай Фермі-Дырака складаецца з "+1" у формуле Фермі-Дырака. Такая невялікая розніца, і ўсё ж гэта аказвае велізарны ўплыў на тое, як паводзіць сябе справа!

А як наконт бозонаў? Яны не падпарадкоўваюцца прынцыпу выключэння Паўлі, ці не будзе так, што газ бозонаў не адрозніваецца ад звычайнага класічнага газу? Не, бозоны маюць уласны набор статыстыкі, за якой яны ідуць, вядомая як "статыстыка Боза-Эйнштэйна", якая адрозніваецца ад статыстыкі Максвела-Больцмана і Фермі-Дырака.

Хоць яны не падпарадкоўваюцца прынцыпу выключэння Паўлі, ідэнтычныя бозоны ўсё яшчэ адрозніваюцца ад адрозных часціц, паколькі камбінаторыка ўсё яшчэ адрозніваецца. Памятаеце, калі мы абмяркоўвалі квантавыя станы ў прасторы Гільберта? Для пары аднолькавых бозонаў, у якіх толькі два наяўныя стану, мы ўбачылі, што ў пары ёсць толькі 3 магчымыя стану, у якіх яны могуць знаходзіцца, а не 4, якія можна было б чакаць, калі б яны адрозніваліся. Абагульненне гэтага заключаецца ў тым, што для мноства N аднолькавых бозонаў з даступнымі станамі K існуе "N выберыце K-1" = (N + K-1)! / N! / (K-1)! Для адрознівальных часціц яны могуць быць замест розных унікальных станаў, а не K ^ N. (Дзе, вядома, знакі! - гэта матэматычныя фактарныя сімвалы, як у частцы 1.) Вы можаце лёгка праверыць, ці працуе гэта ў маім арыгінальным прыкладзе, дзе N = K = 2: (2 + 2–1)! / 2! / (2 –1)! = 3! / 2! / 1! = (3 * 2 * 1) / (2 * 1) / 1 = 6/2 = 3.

Дазваляючы кожнаму энергетычнаму ўзроўню мець розную колькасць выроджаных станаў K_i, формулу трэба пашырыць да твора мноства фактараў кожнай формы (N_i + K_i + 1)! / N_i! / (K_i-1)! (тое ж самае, што вышэй, проста з падпiсамi i на iх, каб адрознiваць розныя ўзроўнi энергii E_i). Выкарыстоўваючы вылічэнне, каб знайсці максімум гэтага выраза, атрыманы стан раўнавагі можна ідэнтыфікаваць як той, дзе ёсць N_i = K_i / (e ^ ((E_i-µ) / (kT)) - 1) часціцы на кожным энергетычным узроўні Е_і. Гэта формула статыстыкі Бозэ-Эйнштэйна. Звярніце ўвагу, адзінае адрозненне паміж формулай Фермі-Дырака заключаецца ў тым, што +1 зараз -1! Гэта робіць усе 3 з іх лягчэй запомніць. Хоць звычайна для бозонаў, µ роўна 0, таму што іх можна лёгка стварыць альбо знішчыць - напрыклад, колькасць фатонаў у нашым Сусвеце не захоўваецца, таму яны могуць з'яўляцца і знікаць без неабходнасці пры неабходнасці.

Формула статыстыкі Эйнштэйна-Бозе была выяўленая індыйскім фізікам па імені Сатындэра Нат Бос, за год ці два да таго, як статыстыка Фермі-Дырака была выяўленая і ўжытая да белых карлікаў. Гісторыя пра тое, як ён наткнуўся на яго, займальная. Ён чытаў лекцыю ў 1924 г. у Брытанскай Індыі (у межах так званай Бангладэш) пра «ультрафіялетавую катастрофу». Ультрафіялетавая катастрофа мела такую ​​назву, якую ў пачатку 20-га стагоддзя назвалі праблемай, калі ніхто не ведаў, як у поўнай меры атрымаць формулу Планка для выпраменьвання чорных целаў са статыстычнай механікі, якую я доўга абмяркоўваю ў тым, што дагэтуль з'яўляецца маёй самай папулярнай працай на "Медыя" (гісторыя таго, як Планк наткнуўся на квантавую механіку, вывучаючы энтрапію).

Планк правільна падкрэсліў, што галоўным было меркаваць, што энергія нейкім чынам была квантаваная, але яму не ўдалося прыдумаць ідэальна чыстае выснову аж да першых прынцыпаў, без уліку некаторых спецыяльных здагадак аб вагальных рэжымах ўнутры. печы. Бозэ праходзіў працэс дэманстрацыі слухачам, чаму, пачынаючы з асноўнай камбінаторыкі станаў і ўзроўню энергіі, вы ў канчатковым выніку памыляецеся. За выключэннем таго, што напрыканцы адбылося дзіўнае цуд - ён здзівіў сябе і ўсіх, неяк выпадкова апынуўшыся на патрэбнай формуле. Ён азірнуўся назад да таго, што зрабіў, і зразумеў, што памыліўся - пры падліку дзяржаў ён палічыў іх "няправільна". Ён выпадкова паставіўся да фатонаў так, быццам яны ўсе аднолькавыя і ўзаемазаменныя, а не адрозныя, як меркавалася раней. Падумаўшы над гэтым больш, ён зразумеў, што, магчыма, ён на чымсьці - напэўна, гэта не памылка. Ён не ведаў, хто яшчэ пра гэта распавядае, таму вырашыў напісаць ліст Альберту Эйнштэйнам. Эйнштэйн быў адразу ўсхваляваны і дапамог яму апублікаваць дакумент.

Satyendra Nath Bose

Такім чынам, першым ключом да ўзнаўлення формулы Планка было тое, што святло квантуецца ў асобныя пакеты энергіі, якія зараз называюць фатонамі. Але другім важным фактарам было тое, што гэтыя фатоны не маюць індывідуальнай ідэнтычнасці. Акрамя некаторых, якія маюць іншую энергію і імпульс, чым іншыя, усе яны аднолькавыя. З пункту гледжання гэтага, шмат у чым больш ранняй працы Больцмана і Гібса па статыстычнай механіцы было больш сэнсу. Там быў каэфіцыент N! для таго, каб размеркаванне Максвела-Больцмана выпрацавалася правільна, і каб пераканацца, што энтрапія правільна маштабуецца з аб'ёмам. Гіббс ведаў, што гэта звязана з абыходжаннем з часціцамі, як быццам яны ўзаемазаменныя, але ніхто не звяртаў на гэта асаблівай увагі і не ўспрымаў гэта блізка да сэрца. Перад Бозэ наогул усе меркавалі, што часціцы будуць адрознівацца адзін ад аднаго, прынамсі, у прынцыпе.

Шчасная памылка Бозэ ў Бангладэш дазволіла ўсім свеце фізікі пакласці цвік у труну з ідэяй, што кожная квантавая часціца мае сваю ідэнтычнасць. Калі б у іх было, то было б больш дзяржаў, і ў нас усё яшчэ была б ультрафіялетавая катастрофа - тэрмадынаміка адрозных фатонаў ніколі б не змагла прайграць выпраменьванне чорнага цела, якое назіраецца ў печах чорных целаў з канца 1800-х гадоў. Мы таксама не зможам растлумачыць, чаму сонца і іншыя крыніцы святла не выпраменьваюць бясконцую колькасць энергіі.

І гэта - сябры, - гэта гісторыя таго, як мы даведаліся, што ўсе электроны ідэнтычныя!

Калі ласка, націсніце кнопку хлопа, калі вы знайшлі гэта змястоўна, дзякуй :-)