Што такое дробавы падлік?

Дыферэнцыяльнае вылічэнне было вынайдзена незалежна Ісаакам Ньютанам і Готфрыдам Лейбніцам, і было зразумела, што паняцце вытворнай n-га парадку, гэта значыць прымяненне аперацыі дыферэнцыяцыі п разоў паслядоўна, мела сэнс. У лісце 1695 года Л'Хопітал спытаў Лейбніца аб магчымасці таго, што п можа быць чым-небудзь акрамя цэлага ліку, напрыклад, п = 1/2. Лейбніц адказаў, што "гэта прывядзе да парадокса, з якога аднойчы будуць цягнуцца карысныя наступствы". Лейбніц быў правільны, але прайшло б не стагоддзі, пакуль не стане зразумела, наколькі ён правільны.

У гэтым артыкуле будзе вывучацца пытанне аб тым, што гэта можа азначаць зрабіць нешта накшталт таго, каб узяць вытворную 1/2 парадку, і таму ўвесці тэорыю дробавага вылічэння.

Інтуіцыя

Ёсць два спосабы інтэрпрэтацыі выразу

Першы - гэта той, які мы ўсе вывучаем у асноўнай аснове: гэта функцыя, якую мы атрымліваем, калі мы некалькі разоў адрозніваем часы fn. Другая - больш тонкая: мы трактуем яе як аператар, дзеянне якога на функцыю f (t) вызначаецца параметрам n. Што пытаецца l'Hopital - гэта паводзіны гэтага агульнага аператара, калі n не з'яўляецца цэлым.

Самы натуральны спосаб адказаць на гэтае пытанне - інтэрпрэтаваць дыферэнцыяцыю і інтэграцыю як пераўтварэнні, якія прымаюць f і ператвараюць яго ў новую функцыю. Такім чынам, мы шукаем аператара, які бесперапынна пераўтварае f у сваю n-ю вытворную або антыдэрыватыўную.

Дробны інтэграл і вытворная

Самым натуральным месцам для пошуку пошуку дыферэнцыяльных і інтэгральных аператараў дробавага парадку з'яўляецца формула пад назвай формула Кошы для паўторнай інтэграцыі. Калі мы неаднаразова прымаем антыдэрыватыў функцыі n-га парадку, то вынік:

Абагульненне фактарнай функцыі - гама-функцыя. Калі адзначым, што Γ (n) = (n-1)! тады відавочны спосаб абагульнення формулы Кошы ўключыць рэальны парадак α (строга большы за нуль)

І сапраўды, гэта сапраўдны аператар для інтэграцыі з дробавым парадкам. Яго называюць левым інтэгралам Рымана-Лівіля. Пра мэты "левага" кваліфікатара мы абмяркуем пазней. На самай справе існуе шмат розных аператараў дробавай інтэграцыі, якія прымаюцца ў літаратуры, але інтэграл RL з'яўляецца самым простым і простым у выкарыстанні і разуменні. Звярніце ўвагу, што α таксама можа быць складанай з рэальнай часткай, строга большай за нуль, для прастаты будзем лічыць, што α рэальная. Асаблівы выпадак α = 1/2 называецца паўцелым.

Інтэграцыя Радыё Свабода падпарадкоўваецца наступным важным адносінам:

Можна наіўна меркаваць, што мы гатова, і што мы можам проста вызначыць дробавую дыферэнцыяцыю па парадку α

Не так. Праблема (ну, адна з праблем) у тым, што гама-функцыя не вызначаецца для нуля або для адмоўных цэлых лікаў, што дасць нам магчымасць абагульнення дыферэнцыяцыі, якая нават не спрацавала для рэгулярнай дыферэнцыяцыі! Мы павінны быць творчымі, каб знайсці шлях да гэтага.

Давайце спачатку адзначым, што ўзнікненне вытворных n раз пасля інтэграцыі n раз эквівалентна аперацыі ідэнтычнасці:

Гэта азначае, што вытворная з'яўляецца левай зваротнай часткай інтэграла. Аднак інтэграцыя не з'яўляецца левай зваротнай вытворнай, таму што інтэграцыя дадае адвольную канстанту. Гэта значыць, звычайна не так:

Маючы гэта на ўвазе, мы чакаем, што дробавая вытворная для парадку α мае ўласцівасць, якое:

Мы, відавочна, хацелі б мець магчымасць пісаць дробавую дробу ў тэрмінах аператараў, якія мы разумеем. Мы разумеем дыферэнцыяцыю да цэлага парадку і разумеем інтэграцыю ў цэлы і нецелы парадак. Аператар, які мы можам пабудаваць з гэтых аператараў кампанентаў, які мае жаданае ўласцівасць адмены левай, з'яўляецца:

Дзе ⌈α⌉ называецца функцыяй столі α, вынік акруглення α да наступнага цэлага ліку. Мы знаходзім, што на самай справе гэта правільны аператар, і выпісана ў поўным аб'ёме выглядае так:

Гэта левая дробавая вытворная Рымана-Ліувіля. Можна выразна зразумець, паглядзеўшы на гэтага звера, чаму спатрэбілася амаль 300 гадоў, каб гэтая вобласць даследаванняў ішла куды заўгодна: большасць вылічэнняў дробавага вылічэння стомныя, а то і зусім невырашальныя, калі рабіць уручную без дапамогі кампутара. Асаблівы выпадак α = 1/2 называецца паўправадным.

З дапамогай дробавага інтэграла і вытворнай, якую мы распрацавалі, мы зараз можам аб'яднаць іх па кавалачках для вызначэння дыферэнцыяльнага інтэгральнага аператара:

Наступная анімацыя паказвае, як розны інтэграл Рымана-Лювіля бесперапынна пераўтвараецца паміж функцыямі f (x) = x, f (x) = 1 і f (x) = (1/2) x²:

Крыніца выявы: Wikimedia Commons.

Звярніце ўвагу на тое, як ад значэнняў α ад -1 да 1 розніца інтэграла, паказаная зялёнай крывой, праносіцца паміж прамой y = 1 і крывой y = (1/2) x².

Уласцівасці

Заўсёды цікава быць цікавым, што адбываецца, калі вы спрабуеце зрабіць штосьці дзіўнае, напрыклад, падключыце дробу ў парадку дыферэнцыяцыі, бо гэта, вядома, колькі важных адкрыццяў зроблена, але калі накіроўвацца на нязведаную тэрыторыю, трэба быць гатовым адмовіцца ад значнай часткі таго, што вы ўжо ведаеце, і прыняць як належнае як натуральнае і відавочнае.

У асноўным гэта банальны спосаб сказаць, што многія асноўныя ўласцівасці звычайных вытворных і інтэгралаў, з якімі мы ўсе добра знаёмыя і зручныя, як, напрыклад, правілы ланцуга і прадукту, не маюць у цэлым дробавых вытворных і інтэгралаў, інакш яны набываюць складаныя формы. Аднак інтэгральныя і вытворныя RL, якія мы абмяркоўвалі, не з'яўляюцца адзінымі магчымымі дыферэнцыяльнымі аператарамі. На самай справе існуе цэлая сусвет розных спосабаў абагульнення дыферэнцыяцыі і інтэграцыі да нецелых цэлых парадкаў, і гэта магчыма зрабіць так, каб захаваць шматлікія класічныя ўласцівасці. Аднак у гэтым артыкуле мы спынімся на аператарах RL, паколькі яны, разам з цесна звязанымі аператарамі Caputo, самыя простыя ў разуменні і найбольш распаўсюджаныя ў дадатках.

Яшчэ адна цікавая ўласцівасць RLFD - неэканамічнасць. Калі мы вылічваем значэнне вытворнай цэлага парадку ў кропцы, атрыманае значэнне залежыць толькі ад гэтага пункта. Гэта, здавалася б, відавочнае ўласцівасць называецца мясцовасцю. З дробавай вытворнай усё інакш. Фракцыйная вытворная атрымліваецца інтэграцыяй па ўсім дыяпазоне значэнняў, і існуе нетрывіяльная залежнасць ад ніжняй мяжы інтэграцыі, так што мы павінны правільна выпісаць дробную вытворную як:

Выпадак, калі a = 0 з'яўляецца агульным пры аналізе фізічных сістэм, таму што часта залежная пераменная - час, а дробавая вытворная ў любы момант часу будзе залежаць ад стану сістэмы ва ўсе папярэднія часы, гэта значыць ад усіх момантаў часу з пачатак эксперыменту пры t = 0.

Гэта нелокальність з'яўляецца адным з асноўных фактараў, якія цікавяцца дробавым вылічэннем у дадатках. Ёсць шмат цікавых фізічных з'яў, якія называюцца эфектамі памяці, гэта значыць, што іх стан залежыць не толькі ад часу і становішча, але і ад папярэдніх станаў. Напрыклад, можна ўявіць кампанент электрычнага ланцуга, супраціў якога залежыць ад усяго зарада, які прайшоў праз яго за пэўны час. Сістэмы з эфектамі памяці могуць быць вельмі складаныя для мадэлявання і аналізу класічнымі дыферэнцыяльнымі ўраўненнямі, але нелокальность дае дробным вытворным убудаваную магчымасць уключэння эфектаў памяці. Дробнае вылічэнне можа, такім чынам, апынуцца вельмі карысным інструментам для аналізу сістэм гэтага класа.

Нелояльнасць таксама з'яўляецца прычынай таго, што мы павінны быць асцярожнымі пры ўдакладненні таго, што мы абмяркоўваем левы RLFD. Можна таксама змяніць парадак інтэграцыі, каб вызначыць правільную дробавую вытворную:

Правы RLFD - прынцыпова іншы аб'ект, чым левы, нягледзячы на ​​падобны выгляд. Правыя дробавыя вытворныя вывучаны не так шмат, і яны не такія карысныя ў прыкладных умовах. Каб зразумець, чаму, разгледзім, што азначала ўласцівасць нелокальности ў левым выпадку RLFD: гэта азначала, што стан фізічнай сістэмы залежаў ад яе стану ў папярэднія часы. Калі правы RLFD апісваў фізічную сістэму, то стан гэтай сістэмы ў дадзены момант часу будзе залежаць ад яе будучага стану, што не з'яўляецца фізічна разумным. Паколькі большасць даследаванняў дробавага вылічэння сканцэнтравана на дадатках, то цяпер тэарэтыкі цікавыя менавіта правільным фракцыйным вытворным.

Дробныя вытворныя некаторых асноўных функцый

Для функцый харчавання з n≥0 дробавая вытворная:

Праверыўшы выпадак n = 0, мы можам бачыць, што гэта азначае, што дробавая вытворная канстанты, на дзіва, не роўная нулю. Паўправадная f (t) = 1, пастаянная, варта запомніць і задаецца:

Для функцыі сінуса:

Менавіта гэты выпадак найбольш усяляк падтрымлівае нашае сцвярджэнне, што дробавую дробу можна лічыць трансфармацыяй паміж функцыямі і іх вытворнымі. Змена α проста прымушае фазу прасоўвацца, пакуль пры α = 1 мы не атрымаем функцыю косінуса.

І нарэшце, для экспанентнай функцыі:

Што, як і функцыя сінуса, гэта менавіта тое, што мы маглі б чакаць.

Інтэрпрэтацыя

Пакуль не зразумела, як мы павінны трактаваць дэталі аператараў геаметрычна і фізічна гэтак жа, як мы робім з аператарамі ў класічным вылічэнні. Гэта вобласць актыўных даследаванняў, і калі гэтая праблема будзе вырашана, гэта, верагодна, прывядзе да вялікіх вынікаў у фізіцы і тэхніцы.

У той жа час прасцей за ўсё зрабіць падыход, які выконваў Олівер Хевісайд, калі ён сутыкнуўся з дробавымі аператарамі пры распрацоўцы аператыўнага вылічэння: проста прыміце, што яны існуюць як клас аб'ектаў самі па сабе і што яны ідуць за пэўным наборам правілаў, і калі вы калі-небудзь сутыкнецеся з чымсьці, што адпавядае гэтым правілам альбо вам трэба нешта, што адпавядае гэтым пэўным правілам, то вы ведаеце, што шукаць.

Праблема з таутохронам

Як правіла, Нілс Абель (1802–1829) быў першым матэматыкам, які распрацаваў асноўныя ідэі дробавага вылічэння пры аналізе праблемы тавтохроны. Праблема тавтохроны просіць пабудаваць крывую з уласцівасцю таго, што калі шарык слізгае па крывой, час, неабходны для дасягнення ніжняй часткі крывой, не залежыць ад пачатковай вышыні.

Крыніца выявы: Wikimedia Commons

Абель выкарыстаў асноўныя фізічныя развагі, каб атрымаць наступнае інтэгральнае раўнанне, якое адносіць час дасягнення дна крывой да пачатковай вышыні:

Дзе s - параметрызацыя крывой даўжыні дугі, якая вырашае задачу. Нам трэба вырашыць гэтае ўраўненне для ds / dy. Мы маглі б вырашыць гэтую праблему, выкарыстоўваючы згорткі і пераўтварэнні Лапласа, як гэта рабіў Абель. У якасці альтэрнатывы мы маглі б зрабіць усё гэта хутка і прызнаць, што выраз справа можна падзяліць на Γ (1/2) = √π, каб ператварыць яго ў паўцелае. Падзяліце кожную бок гэтага раўнання на √π і перамесціце √ (2g) налева, каб атрымаць, і хай T (y0) = T0, паколькі час падзення з'яўляецца пастаянным у адносінах да пачатковай вышыні:

Мы ведаем, як адмяніць паў-інтэгральны аператар. Проста вазьміце паўправадную для кожнага боку гэтага раўнання, і задача адразу вырашаецца:

Крывая, апісаная гэтым ураўненнем (цыклоід, дарэчы), называецца крывой таутохронам.

Гэтая праблема ілюструе асноўны варыянт дробавага вылічэння, які цяпер выкарыстоўваецца. Як правіла, бывае, што пры аналізе сістэмы мы выпадкова сутыкаемся з матэматычным сцвярджэннем, якое з'яўляецца дробавым аператарам, і таму мы ведаем, што да гэтай сістэмы можам прымяніць правілы дробавых аператараў.

Выснова

Адзін з найвялікшых спосабаў зрабіць адкрыцці ў матэматыцы і прыродазнаўстве - гэта паглядзець, што адбываецца, калі мы парушым правілы, спрабуючы прымусіць нашы існуючыя тэорыі працаваць з экстрэмальнымі альбо незвычайнымі выпадкамі. (Я спадзяваўся на гэта ў папярэднім артыкуле). Часта гэта нікуды не дзенецца, бо часам правілы існуюць не проста так, але часам мы атрымліваем выдатны адказ, калі задаем недарэчныя пытанні. Гэта, безумоўна, адзін з тых часоў.

Як заўсёды, я цаню любыя папраўкі.