Некаторыя бясконцасці большыя, чым іншыя?

Самыя прыгожыя матэматычныя доказы, вып. 1, Максім Каут.

У якасці бакавой запіскі - я не матэматык, але вучань сярэдняй школы, які не наведваў школу цэлы год, а ў асноўным энтузіяст і праграміст камп'ютэрных навук. Пры гэтым я вучыў сябе матэматыцы і хачу падзяліцца прыгажосцю некаторых маіх любімых матэматычных доказаў у гэтай серыі.

Вы ведаеце, як лічыць?

Калі вам цікава, ці могуць некаторыя бясконцасці быць большымі, чым іншыя, важна ведаць, што азначае "большае", і што ўключае ў сябе вызначэнне пралічанасці. Мы можам атрымаць уяўленне пра гэта з рэальнага вопыту жыцця: пры падліку яблыкаў вы прысвойваеце нумар кожнаму, пачынаючы з 1 і павялічваючы па 1 кожны раз, пакуль не будзе больш яблыкаў для падліку.

Іншымі словамі, вы злучаеце кожнае яблык альбо любы элемент набору (або кошыка) з унікальным натуральным цэлым. Такім чынам, мы можам вызначыць лічыльны набор як набор, для якога мы можам злучыць кожны элемент з адным унікальным элементам N, мноствам натуральных лікаў {0, 1, 2,. . .}.

Варта адзначыць, што мы можам злучыць кожны элемент N, мноства натуральных лікаў, з кожным элементам сябе. Таму N - незлічона мноства; мы маглі б палічыць кожную колькасць бясконцага спісу натуральных лікаў, калі б у нас была бясконцая колькасць часу ...

Ёсць больш цэлых лікаў, чым натуральныя нумары?

Z, мноства ўсіх цэлых лікаў {…, -2, −1,0,1,2,…}, большае N, мноства натуральных лікаў {0, 1, 2,. . .}? Здаецца, дзіўнае пытанне, так? Я ўсё яшчэ памятаю ўзбуджэнне і радасць, якую падзялілі мой лепшы сябар і я яшчэ ў сярэдняй школе, калі мы надзіва даказалі адзін аднаму, што Z на самай справе такога ж памеру, што і Н. Тут дакладны тэрмін на самай справе не "памер", але " кардынальнасць ”, што азначае колькасць элементаў у наборы.

Доказ на самай справе даволі просты, мы можам злучыць кожнае адмоўнае лік мноства Z да унікальнага натуральнага няцотнага ліку і спарыць кожнае станоўчае лік мноства Z з унікальным цотным лікам. Таму мы можам палічыць Z з N.

Нават калі мы можам падумаць, што ёсць больш станоўчых і адмоўных цэлых лікаў, чым толькі станоўчыя цэлыя лікі, мы можам злучыць кожны элемент Z з унікальным элементам N.

Некаторыя рэчы, з якімі вы не можаце разлічыць нават бясконцую колькасць часу,

Тут мы будзем даказваць, што мноства R усіх рэальных лікаў не падлічваецца, і мы будзем рабіць гэта, выкарыстоўваючы дыяганальны аргумент Кантора.

Спачатку мы мяркуем, што мы можам пералічыць усе сапраўдныя лікі ад 0 да 1,

Напрыклад, мы можам меркаваць,

Зараз разгледзім лік d,

d, складзены па дыяганалі нашага спісу. Першая лічба d - гэта першая лічба першага нумара спісу, другая лічба d - другая лічба другога ліку спісу і гэтак далей даданне лічбаў па дыяганалі для ўсяго спісу.

Такім чынам, для любога i

Напрыклад, улічваючы гэты спіс,

Цяпер пабудуем лік x,

так, што i-я лічба х адрозніваецца ад i-й лічбы d і не роўная 9, так

Напрыклад, для d = 0,16392 ... мы можам пабудаваць x = 0,27413 ... і працягваць для кожнай лічбы d, бо нават калі xi ≠ di ёсць яшчэ 8 магчымых лічбаў, ды можа быць роўна.

Цяпер мы можам даказаць, што х адсутнічае ў спісе ўсіх рэальных лікаў ад 0 да 1.

Па пабудове першая лічба х адрозніваецца ад першай лічбы d, а першая лічба d - першая лічба першага ліку спісу. Такім чынам, x не можа быць першым нумарам спісу, бо ён мае іншую першую лічбу.

Па пабудове другая лічба х адрозніваецца ад другой лічбы d, а другая лічба d - другая лічба другога ліку спісу. Такім чынам, x не можа быць другім нумарам спісу, бо ён мае іншую другую лічбу. Гэта працягваецца для ўсіх нумароў у спісе.

Іншымі словамі,

што ў будаўніцтве не можа быць праўдай,

Мы паказалі, што калі вы створыце спіс усіх рэальных лікаў ад 0 да 1, х заўсёды будзе адсутнічаць. Гэта супярэчнасць даказвае, што мноства ўсіх рэальных лікаў ад 0 да 1 не падлічваецца, і таму R, мноства ўсіх рэальных лікаў, таксама не падлічваецца. Вы не можаце падлучыць кожнае рэальнае лік да унікальнага натуральнага ліку.

Гэта азначае, што кардынальнасць R большая, чым N кардынальнасць, таму некаторыя бясконцасці больш, чым іншыя.

Літаратура, Георг Кантор. "Вы павінны мець Frage der Mannigfaltigkeitslehre". 1891 год.

Я Макс Каўт, сузаснавальнік Relativty.com, гарнітура VR, якую я распрацаваў з нуля, з якіх я адкрыў код і абсталяванне. Сачыце за мной на Twitter @maxcoutte.