∞⁰ = ∞, 1 альбо не вызначана. Што гэта?

Пару дзён таму я напісаў артыкул пра падвядзенне вынікаў Рамануджана, у якой кароткая гісторыя - гэта матэматычная серыя, якая выглядае прыблізна так:

Калі вы хочаце прачытаць артыкул, націсніце тут. Я пацвярджаю гэты факт у артыкуле разам з двума іншымі не менш цікавымі раўнаннямі. На самай справе я наткнуўся на ідэю гэтага самага артыкула. Пасля публікацыі вынікаў Рамануджана я атрымаў каментарый аб маім выкарыстанні камунікатыўнасці бясконца пералічанага набору. Камунікатыўнасць - гэта ідэя, што калі ў вас ёсць 1 + 2 + 3, змяненне парадку ўмоў не мяняе вынікаў. Такім чынам, 1 + 2 + 3 = 1 + 3 + 2, вы можаце, але ў любым парадку, а адказ усё роўна будзе 6. Я выкарыстоўваю гэта ўласцівасць, каб даказаць вышэйзгаданае раўнанне ў маім іншым артыкуле, але forceOfHabit выказаў цікавае кропка, ці мае гэта значэнне для бясконцага набору лікаў?

"Яго інтуітыўна зразумела, што ў два разы больш натуральных лікаў, чым нават натуральных. Але калі ўзяць паслядоўнасць натуральных лікаў і памножыць іх на 2, то атрымаецца паслядоўнасць нават натуральных лікаў. Але множанне кожнага члена паслядоўнасці на 2 не мяняе колькасці членаў. Такім чынам, існуе сапраўды столькі ж натуральных лікаў, колькі нават натуральных. Дык што гэта? Удвая большае ці столькі ж? " - forceOfHabit

І, шчыра кажучы, я не ведаў адказу на гэта. Але гэта дасягнула максімуму маёй цікавасці, таму я вырашыў вывучыць гэта крыху больш. Я пайшоў у чарвяточную прабоіну Вікіпедыі па розных галінах матэматыкі, вывучыўшы некалькі цікавых фактаў, а таксама апынуўся ў кардынальнасці. Кардынальнасць разглядае мноства і тое, як вы маглі б апісаць колькасць элементаў у наборы. Напрыклад, мноства {1,2,3} змяшчае 3 элемента або кардынальнасць 3.

Карыстаючыся кардынальнасцю, мы можам пачаць разбірацца ў пытаннях вышэй. Я вывучыў крыху далей і знайшоў цікавую частку кардынальнасці пад назвай Кардынал Арыфметыкі - арыфметычныя аперацыі, якія можна выконваць на кардынальных ліках, якія абагульняюць звычайныя аперацыі для натуральных лікаў. Калі казаць па-ламенску, гэта спецыяльны набор аперацый, якія працуюць спецыяльна для кардынальных лікаў, кожная з якіх мае сваё вызначэнне. Напрыклад, калі ў вас ёсць два мноствы A і B з кардыналіямі 3 і 4 адпаведна, то мы пазначаем гэта як | A | = 3 і | B | = 4. Тады | А | + | B | = | A ∪ B |. Вядома, гэта тое самае, што проста дадаваць лікавыя значэнні | A | і | B |, той факт, што ён вызначаны такім чынам, паказвае, як існуюць арыфметычныя аперацыі, якія можна стварыць для пэўных мностваў (пры ўмове, што аперацыя адпавядае пэўным крытэрыям).

Пры дапамозе кардынальнай арыфметыкі было даказана не толькі тое, што колькасць пунктаў у рэальнай лінейцы лікаў роўная колькасці пунктаў у любым адрэзку гэтай прамой. Гэта гучыць вельмі контр-інтуітыўна, але зноў жа, гэта пытанне вышэй, таму я люблю думаць, што яны падобныя. Відавочна, што гэта ніякім чынам не з'яўляецца афіцыйным альбо нават сапраўдным доказам, але я б сцвярджаў, што калі разглядаць іх у тым жа сэнсе, то адказ на пытанне forceOfHabit - гэта варыянт b; столькі ж цэлых лікаў.

Але з іншага боку, я магу зусім памыляцца, і ў гэтым здзіўляецца бясконцасць. Ёсць так шмат, што пра яго невядома, таму што гэта проста канцэпцыя. Няма ніякага спосабу вымераць бясконцасць, таму што па азначэнні гэта несувымерна і само па сабе складаная канцэпцыя, каб абгарнуць галаву. Я думаю, што прафесар матэматыкі першага курса падвёў вынікі бясконцасці: «Я ненавіджу бясконцасць. Гэта не лік, але мы разглядаем яго як адно, але не варта. Гэта паняцце, а не матэматычнае значэнне, так што калі хто-небудзь з вас выкарыстоўвае яго як такі, вы можаце таксама адмовіцца ад курсу! "

Зараз пра мой любімы нумар ва ўсім свеце. Вы спытаеце каго-небудзь, які іх любімы нумар (пасля таго, як скончылася пагаворванне пра надвор'е, зразумела), і яны, напэўна, скажуць што-небудзь адносна дня нараджэння ці шчаслівага нумара, у які вераць. Але спытайце мяне, і я скажу вам 0. Гэта не шчаслівы нумар, ні дзень нараджэння альбо юбілей, але ён, безумоўна, найбольш цікавы для мяне.

Для пачаткоўцаў ён мае значэнне, але не мае значэння. Калі вы дадасце яго да іншага нумара, ён застанецца ранейшым. Калі адняць, застаецца тое ж самае. Але калі вы памнажаеце яго, вы атрымліваеце 0, незалежна ад таго, на што вы памнажаеце.

1 х 0? 0.

123456789876543212345678987654321 х 0? 0.

І калі вы падзеліце яго, вы атрымаеце 0 незалежна ад таго, які назоўнік яго (радок 1 нумар, сачыце за гэтым). 0/1234 па-ранейшаму роўны нулю

Але калі вы ныраеце на нуль, вы атрымаеце некалькі сапраўды дурных рэчаў. Я кажу пра ўхіленне куляў вар'ят матрыцы. Кожны, хто прыняў клас алгебры, ведае, што мы не можам падзяліць на нуль, таму што ён не вызначаны. Мы класіфікуем яго як нявызначаны, таму што калі вы спрабуеце падзяліць 6 на нуль, гэта аналагічна пытанню "Колькі разоў 0 роўна шасці?" Мы ведаем, што для задавальнення гэтага не існуе лік, таму дзяленне на нуль не адпавядае звычайным правілам дзялення. Такім чынам, мы ігнаруем яго. Але, калі мы забываем гэтае правіла на секунду, дзяленне на нуль можа стаць вельмі акуратным інструментам "даказаць" зусім недарэчныя рэчы. Напрыклад:

Няхай a = b. Тады
a² = ab
a² + a² = a² + ab
2a² - 2ab = a² + ab - 2ab
2 (a² - ab) = 1 (a² - ab) #Магічны крок адбываецца тут
2 = 1

Вось мы ідзем, я проста даказаў, што 2 = 1 і разбіў матэматыку! Прычына гэтага працуе ў магічным кроку, які падзяляе абодва бакі на ² - ab, але калі вы паглядзіце на арыгінальнае сцверджанне, a = b, такім чынам, ² = ab, іншымі словамі a² - ab = 0. Гэта дзяленне на нуль, які па гэтай дакладнай прычыне не вызначаны. Таму матэматыкі пазбягаюць гэтага, як чумы.

На шчасце, гэта на самай справе трэці варыянт. Я мог бы пераканацца, як гэта ў форме абмежавання, гэта нявызначаная форма, але я думаю, што вядомы сябар з Apple назваў гэта лепш:

"Уявіце, што ў вас 0 кукі, і вы падзялілі іх роўна паміж сябрамі. Колькі печыва атрымлівае кожны чалавек? Разумееце, гэта не мае сэнсу. І Monster Cookie сумна, што печыва няма. І вам сумна, што ў вас няма сяброў. " - Сіры (сапраўды, паспрабуй спытаць у Сіры "на што 0 дзеліцца на 0?")

Больш складанае пытанне, звязанае з нулем, што такое 0⁰? Ну па вызначэнні, калі ў вас ёсць сіла b, то вынік памножыцца на b колькасць разоў. Дык гэта павінна быць нуля, так? Таму што любое лік, памножанае на нуль, роўна нулю. Але мы таксама ведаем, што a⁰ = 1 (для ўсіх a ≠ 0), так, можа быць, ён павінен быць 1? Ці варта вызначыць, як дзяленне на 0? Пра гэта доўга абмяркоўвалася ў матэматыцы, і для абодвух бакоў ёсць аргументы адносна таго, якім павінен быць сапраўдны адказ. Тут ёсць цікавы вэб-сайт, які прыводзіць аргументы для абодвух бакоў, але асноўныя з іх наступныя: На 0⁰ павінна быць нявызначана бок, у нас ёсць:

  1. Мы ведаем, што a⁰ = 1 (для ўсіх a ≠ 0), але a⁰ = 1 (для ўсіх a> 0). Гэта супярэчнасць азначае, што 0⁰ варта вызначыць

З боку 0⁰ = 1, мы маем:

  1. Для выканання біномальнай тэарэмы пры x = 0 нам спатрэбіцца 0⁰ = 1
  2. 0⁰ уяўляе сабой пусты прадукт (колькасць набораў з 0 элементаў, якія можна выбраць з набору 0 элементаў), які па вызначэнні роўны 1 (гэта таксама тая самая прычына, чаму ўсё астатняе, узведзенае да сілы 0, з'яўляецца 1).

Так што адказ? Канкрэтнага адказу ў нас пакуль няма. Большасць людзей пагаджаецца з тым, што гэта нявызначана (паколькі х ^ у як функцыя дзвюх пераменных не з'яўляецца бесперапынным паходжаннем). Але ў абодвух бакоў ёсць слушныя аргументы, і пакуль хто-небудзь можа выказаць канкрэтны доказ, які сцвярджае тое ці іншае, сцвярджаць, што адзін з іх праўдзівы.

Зараз вам можа быць цікава, што адбудзецца, калі аб'яднаць абодва. Што такое ∞ x 0? Як наконт ∞⁰? Ну і праблема вяртаецца да бясконцасці, паколькі гэта проста канцэпцыя. Ніякага спосабу яго вымераць, вы не можаце мець бясконцае колькасць клейкіх мядзведзяў альбо бясконцае колькасць марожанага (хаця я ўпэўнены, што мы ўсе хацелі, каб маглі).

У большасці выпадкаў адказ не вызначаны. Гэта ўсе прыклады пытанняў, на якія няма адказу, таму што мы не можам надаць значэння такой канцэпцыі, як бясконцасць. Вядома, ёсць дзіўнае выключэнне, напрыклад, 0 ^ ∞, якое мае свайго роду значэнне 0. Калі ўзяць мяжу 0 ^ n, як п імкнецца да бясконцасці, яна роўная нулю. Але гэта рэдкія выпадкі, і нават 0 ^ ∞ па-ранейшаму тэхнічна не роўны 0, ён проста вельмі блізка да яго.

Вось бачыце, бясконцасць - гэта вельмі цікавая рэч, бо яна настолькі адчувальная і адначасова абстрактная. Вы ўвесь час бачыце гэта ў падручніках і раўнаннях па матэматыцы, але ў нас усё яшчэ няма канкрэтнага вызначэння і значэння таго, што гэта такое.

Нуль проста дзіўны, бо гэта ўласная рэч. Часам ён любіць гуляць па правілах, часам - гэта сама па сабе, а часам зачыняецца ў пакоі і адмаўляецца працаваць з кім заўгодна.

У абодвух ёсць свае выкупляльныя якасці, якія вельмі карысныя ў галіне матэматыкі. У іх таксама ёсць свае дзівацтвы, якія могуць быць карыснымі і часам, і боль у патыліцы ў іншых. Але хоць гэта толькі адзін з жыццёвых фактаў, гэта здзіўленне бясконцасці і нуля.